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赌场中21点(BlackJack)的庄家获胜的概率是多少?

   小时候人人都有一个赌神梦。

长大了我们才知道,哪有逢赌必赢,都是十赌九输。

想想也是,都赢庄家吃什么。

要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错,那里的游戏没哪个玩家胜率过了 50%。

即便如此,依然总有那么几个人,可以赚的盆满钵满。

他们是职业赌徒,以 21 点(Blackjack)为核心业务。

   21 点是赌场里最可能赢钱的游戏,也是那里唯一相对公平的游戏,在采取最佳玩法的情况下,玩家胜率高达 49%。

不过要想长期赢钱,这 2% 的劣势也无法容忍,高端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。

   高端赌徒如何要牌

   可以看到 21 点并不复杂,数学家们很容易找出最佳要牌策略。

计算表明,最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。

对职业赌徒来说,做到这点没有什么困难,所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵,记下来就可以了。

  上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。

顶部横排坐标表示庄家首回合翻开牌的点数(T为10点)。

第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前手牌点数和, H 即 Hard,就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算(如果有的话),另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。

  剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。

其中 H 表示 Hit, S 表示 Stand, P 表示Split, D 表示 Double(如果规则不允许就Hit), Ds 表示 Double(如果规则不允许就Stand)。

  仔细观察上面 3 个矩阵,许多要牌策略稍加思考就可明白。

但也有一些很有意思的地方,比如说当手牌和为 12 时,庄家牌面为 2 或 3 要 Hit, 4 到 6 要Stand,当庄家牌面更大时则应坚决要牌。

  为什么会这样?什么时候要牌什么时候不要,概率说了算。

不妨让我们先来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。

庄家开始抽牌后,点数和大于等于 17 才会停止。

这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。

  如果庄家起始点数大于等于 17,根本不用抽牌。

点数和为 H16 时,抽到 6~T 会爆掉。

我们知道,抽到不同大小的牌的概率是相等的(1/13),设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率,那么:

  F(H16) = 8/13 = 0.61538

  当庄家手牌点数和为 H15 时,抽到 7~T 爆掉;抽到 A 就化归成了 H16 的情况:

  F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580

  同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。

当庄家手牌和为 H5 时,情况又有所不同,这时 A 可以被算作11点,把这个变化考虑进来后,也不难算出 H2—H5 的情况。

  那如果是玩家选择 Hit 呢?这时有两种获胜情况:

  玩家没爆但是庄家爆牌

  玩家和庄家都没爆但庄家点数小

  爆牌的概率已经算过,现在来考虑比大小这种情况。

如果庄家第一张牌为 2,令 G(x) 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率,则 G(H2) = 1。

  如果庄家手牌和变为 H3,只能是在 H2 的情况下抽到一张 A,即:

  G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692

  类似地可算出 H4 到 H 21 的概率,依然要注意 A 算成 11 点的情况。

在双方都没爆牌的情况下,玩家通过比大小获胜只有以下几种可能:

  玩家拿到21点,庄家拿到20~17点

  玩家拿到20点,庄家拿到19~17点

  玩家拿到19点,庄家拿到18和17点

  玩家拿到18点,庄家拿到17点

  玩家从 12 点开始抽牌,拿到 18 点,相当于从 H2 开始抽,拿到 H8,因此概率为G(H8),而庄家拿到 17 点的概率 G(17)。

据此情况4的概率为:

  P4 = G(H8)×G(17)

  同理可以算出P3,P2,P1。

因此在玩家手牌和为 H12,庄家第一张牌为 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为:

  P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958

  前面算过,此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831

  P(H) > P(S),所以 Hit 为最优策略。

  用同样的方法我们可以算出玩家手牌和为 H12 时庄家第一张牌为 H3~H11 时玩家选择 Hit 获胜的概率。

把所有情况都算出来,就得到如下的表格:

  变换赌注反败为胜

  前面说过,即便背熟这 3 个矩阵,胜率依然不能过半。

最佳策略只能让你不会输的那么快,可没办法帮你赢钱。

在 1963 年,麻省理工学院的爱德华?索普教授曾做过实验,发现剩余的牌里小牌(7及以下)越多,庄家越容易获胜,剩余的大牌(9、10、J、Q、K、A)越多,玩家越容易获胜。

这其实容易理解,庄家在开牌时会一直抽牌直到点数大于等于 17,如果这时剩下的牌里大牌越多,庄家爆掉的可能性也就越大。

并且大牌多时玩家更容易采取 Double 策略增加收益。

  说到这里你可能也猜到了,想赢就要变换赌注。

在有利时赌大一点,不利时赌小一点。

不过问题是,如何知道剩余的牌里什么时候大牌多?答案是——记牌。

  有一种基本的记牌方法叫高低法,它的策略是令 2~6 为 -1 分, 7~9 为 0 分, 10、J、Q、K、A 为 1 分,把已经出过的所有牌的分数都加起来,如果这个分数很大的话便说明剩下的牌里大牌较少。

但是发完 1 副牌后累积的 15 分和发完 3 副牌后累积的15分所蕴含的意义显然不同,因此又有下面这个调整公式:

  比如说开局的时候有 6 副牌,发完 3 副之后累积 15 分,那线。

  更多资料:21点心术

E5



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